Johan Braeckman doceerde meerdere decennia wijsbegeerte aan de Universiteit Gent. Momenteel is hij schrijver en actief voor de humanistische denktank Kwintessens. Tot zijn meest recente publicaties behoren de boeken ‘Een zoektocht naar menselijkheid’ (met Dirk Verhofstadt, Houtekiet, 2021) en ‘Ezelsoren. Kanttekeningen bij moeilijke kwesties’ (Houtekiet, 2022).

Als het over kritisch denken gaat, is de zogenaamde verjaardagenparadox een klassieker. Tijdens lezingen stel ik vaak tot mijn verbazing vast dat vrijwel niemand ermee vertrouwd is.

Soms meent iemand al iets over de verjaardagenparadox te hebben gelezen of gehoord, om vervolgens een volkomen fout antwoord te geven. Misschien bestaat mijn publiek toevallig telkens weer uit mensen die wiskundig ongeletterd zijn. Maar zelfs als zou dat kloppen – wat ik sterk betwijfel – doet het niet ter zake. De paradox toont namelijk glashelder aan dat onze intuïties over het inschatten van waarschijnlijkheden doorgaans onbetrouwbaar zijn. Dat geldt niet enkel voor de wiskundig minder begaafden onder ons, maar nagenoeg voor iedereen.

Weet jij het?

“Hoeveel willekeurig gekozen mensen moet je minstens bij elkaar brengen om een kans te hebben van 50% dat twee ervan op dezelfde dag verjaren?”

Het vraagstuk gaat over de vraag hoeveel willekeurig gekozen mensen je minstens bij elkaar moet brengen om een kans te hebben van 50% dat twee ervan op dezelfde dag verjaren. Veelal heeft men geen flauw benul van het antwoord. Alleen al de vraag aanhoren, doet bij velen het verstand blokkeren. Wie toch de inspanning doet om erover na te denken, komt vaak op 182 of 183 uit. Er zijn 365 dagen in een jaar, dus misschien levert ongeveer de helft daarvan de gewenste kans van 50% op?

Een verrassend antwoord!

Het juiste antwoord is doorgaans verrassend, omdat het zo laag klinkt: een groep van amper 23 mensen levert al iets meer dan 50% kans op dat twee ervan op dezelfde dag een extra kaarsje mogen uitblazen.

Reken je mee?

Het helpt om in te zien dat het niet uitmaakt welke twee van de 23 aanwezigen hun verjaardag delen. De kans dat één willekeurig gekozen persoon uit de groep matcht met een ander willekeurig persoon is zeer klein, namelijk 1/365, wat iets minder dan 0,3% kans op een overeenkomst geeft. Maar we moeten alle mogelijke combinaties in acht nemen, van 23 personen. Die leveren samen reeds 253 mogelijke koppels op. Nummer 1 kunnen we immers aan 22 mensen koppelen, nummer 2 aan 21, nummer 3 aan 20, enzovoort. Samengeteld levert 22 + 21 + 20 + (…) + 1 het getal 253 op, wat de zogenaamde paradox wellicht al iets minder contra-intuïtief maakt.  

Je kan dat visueel illustreren door 23 punten op een blad papier te tekenen en de punten met elkaar te verbinden door een lijn. Elke lijn is een mogelijke match. Er is maar één situatie zonder lijnen, terwijl meteen duidelijk is dat er veel mogelijkheden zijn om de punten onderling met elkaar te verbinden.

Maar ook wie de logica hiervan inziet, kan zich erover verbazen dat de kans op een match zeer snel stijgt naarmate het aantal aanwezigen toeneemt. Zo heeft een groep van dertig mensen al een kans van meer dan 70% dat twee ervan op dezelfde dag verjaren. Met veertig mensen zitten we al bijna aan 90%, vijftig levert 97% op en zeventig 99.99%. Met dat aantal is het niet langer onverstandig om een weddenschap aan te gaan, maar dit terzijde. 😉

Worstelen met inschatten van waarschijnlijkheden

Het voorbeeld van de verjaardagenparadox illustreert hoe sterk we worstelen met het inschatten van waarschijnlijkheden. Natuurlijke selectie creëerde helaas geen brein dat betrouwbare intuïties heeft voor kansberekening. Dat zorgde misschien niet voor al te ernstige moeilijkheden in de prehistorie, maar in de moderne wereld kan het bijzonder problematisch zijn. Uit onderzoek blijkt dat we focussen op de grootte of omvang van iets en niet op de waarschijnlijkheid ervan. Zo investeren we sneller in een startup bedrijf dat ons grote winsten voorspiegelt dan in een concurrent die minder profijt voorspelt, maar we zijn blind voor de slaagkansen van de bedrijven.

Even misleidend is onze voorkeur voor het totale vermijden van risico, wat bekend is als het zero-risk vooroordeel. Stel je voor dat je geld hebt om één van twee reservoirs drinkwater te behandelen. Als je het eerste reservoir aanpakt, zal het risico op sterfgevallen door vervuild water daar verminderen van 20% naar 5%. Kies je voor het tweede reservoir, dan verklein je de kans op slachtoffers van 1% naar 0%. Aan welk reservoir besteed je de middelen? Velen kiezen voor de tweede optie, aangezien het risico op sterfgevallen daar volledig verdwijnt. Toch is het beter om te investeren in het eerste reservoir, omdat je daar voor 15% minder sterfgevallen zorgt, en bij het tweede slechts voor 1%.

Streven naar zero risk kan averechtse effecten hebben.

Streven naar zero risk is niet altijd verstandig en vaak ook onmogelijk. Bovendien kan het ongewenste averechtse effecten hebben. Denk bijvoorbeeld aan voedselveiligheid. Het klinkt zinvol om voedsel te verbieden dat kankerverwekkende stoffen bevat, zoals de U.S. Food Act van 1958 reguleerde. Er zijn evenwel veel stoffen die potentieel kankerverwekkend zijn. Of ze ook effectief kanker veroorzaken, hangt af van de dosis. Een uitstekend product kan een kankerverwekkende stof bevatten, maar in een onschadelijke dosis. Dan heeft het geen zin om het te verbieden. De US Food Act leidde zelfs tot het gebruik in de voedselindustrie van additieven die schadelijker zijn dan de verboden kankerverwekkende producten. We reageren overdreven sterk op begrippen zoals kanker of radioactiviteit. De totale uitschakeling van de risico’s die eraan zijn verbonden, geeft ons psychologisch een geruststellend gevoel. Maar het is niet altijd de meest rationele optie.

We onderschatten de gevaren van alternatieven

We onderschatten bovendien de gevaren die aan mogelijke alternatieven zijn verbonden. Zo beroert het voorpaginanieuws van een vliegtuigcrash met enkele honderden doden ons veel meer dan de dagelijkse auto-ongelukken die nauwelijks de krant nog halen. Van 1970 tot en met 2024 vielen wereldwijd door vliegtuigongelukken iets minder dan 84.000 doden. Dat lijkt veel, maar door verkeersongelukken op de weg kwamen tijdens die periode jaarlijks meer dan 1,2 miljoen mensen om het leven. Niettemin heeft een groot aantal mensen schrik om zich met een vliegtuig te verplaatsen, telkens zich een crash voordoet met meerdere slachtoffers. Nieuws over een auto-ongeluk daarentegen vermindert het wegverkeer niet.

Meer ongelukken op de weg na 9/11

Dat kan tot merkwaardige situaties leiden, zoals de weken en maanden na de terroristische aanslagen van 9/11 illustreren. Miljoenen Amerikanen aarzelden om in die periode met het vliegtuig te reizen. Velen kozen ervoor om zich per auto te verplaatsen, ook over lange afstanden. Voor een periode van enkele maanden steeg het autoverkeer op snelwegen tussen staten met meer dan 5%. Schattingen van de daling van het aantal mijlen afgelegd per vliegtuig in diezelfde periode gaan tot 20%. De Duitse psycholoog Gerd Gigerenzer berekende dat daardoor 1595 meer verkeerslachtoffers vielen dan gemiddeld in andere jaren. Het cijfer is enigszins omstreden, maar het lijdt geen twijfel dat zich substantieel meer ongelukken op de weg voordeden in de maanden na de aanslagen van Al Qaida.

Hoeveel kans op borstkanker heeft mevrouw Peeters?

Een gebrekkig inzicht in de wiskunde van waarschijnlijkheid kan ook artsen parten spelen, en zo ook hun patiënten. Een mooie illustratie hiervan biedt het onderzoek naar borstkanker. Het klinkt aannemelijk dat het screenen van vrouwen, dat wil zeggen onderzoeken op grote schaal, vanaf een bepaalde leeftijd zinvol is. Doorgaans adviseert men vrouwen van vijftig of ouder om zich regelmatig te laten onderzoeken. Vanaf die leeftijd loopt men meer risico om de aandoening te ontwikkelen.

Die aanpak is evenwel niet zonder problemen. Laat ons aannemen dat op elk gegeven moment het aantal vrouwen dat borstkanker heeft 0,2% is. Als we willekeurig, ongeacht hun leeftijd, 10.000 vrouwen onderzoeken, mogen we verwachten dat 20 ervan borstkanker hebben. Stel nu dat mevrouw Peeters een mammografie ondergaat. Ze is ouder dan vijftig, en in die leeftijdsgroep komt de ziekte meer voor dan gemiddeld: eerder 0,4% dan 0,2%. Mevrouw Peeters is daarvan op de hoogte en ze weet dat de betrouwbaarheid van de test pakweg 90% is. Dat betekent dat in het geval iemand borstkanker heeft, het onderzoek dat in negen op tien gevallen zal aantonen. Het wil ook zeggen dat de test negen op tien keer correct zal aangeven dat iemand geen kanker heeft. Het resultaat van de test van mevrouw Peeters blijkt positief. Vrijwel onvermijdelijk denkt ze dat het 90% zeker is dat ze de aandoening heeft. De grote meerderheid van de bevolking volgt haar in die redenering.

Mevrouw Peeters vergist zich!

Toch vergist mevrouw Peeters zich, iets wat ook niet iedereen die medisch onderlegd is, beseft. We kunnen dat als volgt aantonen. We onderzoeken 10.000 vrouwen zoals mevrouw Peeters, van vijftig en ouder. Gemiddeld genomen zijn 40 vrouwen in die groep getroffen door borstkanker, terwijl 9.960 dames vrij zijn van de ziekte. Aangezien de test voor 90% accuraat is, krijgt 10% van de kankervrije groep een foute diagnose. Dat houdt in dat 996 vrouwen te horen krijgen dat hun test positief is. Van de veertig vrouwen die wel degelijk borstkanker hebben, ontvangen er 36 een juiste diagnose, 4 ervan krijgen verkeerdelijk goed nieuws. Ten opzichte van 36 echte positieve resultaten, staan 996 vals positieven. Er zijn 1.032 ogenschijnlijk positieve resultaten, maar slechts 36 daarvan zijn correct. De kans dat mevrouw Peeters borstkanker heeft, is dan ook geen 90% maar slechts 3,48% (36 x 100, gedeeld door 1032). Naarmate vrouwen vaker mammografieën ondergaan, stijgt ook de kans op een vals positief resultaat. Vanaf zeven tests is het risico daarop al hoger dan 50%. Het klinkt zinvol om regelmatig op grote schaal te screenen voor borstkanker, zeker bij vrouwen van vijftig en ouder. Maar er zijn meerdere redenen om daar zeer voorzichtig mee om te springen, waaronder het gevaar op foute interpretaties door gebrek aan wiskundig inzicht.

Anekdotes beïnvloeden ons meer dan statistieken

Het onbegrip over risico-inschatting en waarschijnlijkheidsrekening is een onderdeel van het grotere probleem van wiskundige ongeletterdheid en gebrek aan kennis over data. De media plaatsen zelden het nieuws van de dag in een groter geheel, wat sterk misleidend werkt. Het leidt ertoe dat anekdotes belangrijker zijn dan statistieken, waardoor we over tal van zaken slecht of minstens onvolledig zijn geïnformeerd.

Velen hebben een afkeer van wiskunde en van het wiskundig presenteren en interpreteren van informatie. Ze stemmen volmondig in met het bekende gezegde dat er gewone leugens zijn, grove leugens en statistieken. Maar terwijl het weliswaar juist is dat men met cijfers en statistieken kan liegen, kan dat nog veel beter zonder.

Met dank aan Jean Paul Van Bendegem voor de verhelderende gesprekken over enkele voorbeelden die in deze tekst ter sprake komen.